一、抽象
数学是抽象的——大家都知道。
凡是抽象的都很难搞。
举个最常见的例子：
一个女人对一个男人说“我要你对我好”，这个【好】就是一个非常抽象的东西。
它不具体——我有什么样的表现算是对你好？
你给我罗列一下嘛，如果你光说对你【好】，这个好到底什么呢？
罗列之后照做了，还是不行，因为没有完整体现女人心中的【好】。
男人，琢磨不透。
努力也不是，不努力也不是。
迷茫。
像极了面对数学题的人。
这就很抽象，把握不住了呀。
如果类比的话，这属于数学的第二阶抽象——
【好】是一个想象中的概念，但它又切实横亘再我们之间。
不好具体出来，哪怕真的具体了，找了一个模型，又不是那么回事。
二、第二阶抽象
数学中这种概念非常多，无穷就是一个。
无穷大无穷小，谁见过呢？
生活中怎么可能有？
遇到这样的问题如何处理呢？
想想就很烧脑。
你又不能不面对它，因为它在现代数学中举足轻重。
还有完美的圆、无线延伸的直线、虚数、无限不循环的小数、 理想元素（在代数中，理想是一种特殊的子集，它在环论中扮演重要角色，但它们不是具体的数字或对象。）、拓扑空间（一个集合，其上的点之间有一种“邻接”关系，这种关系在现实世界中没有直接对应。） 群、群论、零测集、四元数（在三维空间的旋转中有应用，但它们本身并不是现实的直接表示。）代数闭域、同调群、张量积、黎曼曲面、希尔伯特空间……
我不想说了，有兴趣可以在留言区列举，我已经头大了。
学数学，没有想象力，脑洞不够大，是学不好的。
入门级的无穷，当时我就理解不了——
总拿有限的思维去套它，结果我就学不好。
到三维空间、三维坐标后，脑子就不够用了。
三维你还能在现实中找到对应，四维呢？五维呢？
实数还行，虚数呢？复平面呢？复平面加上向量来回变换呢？
这些是什么东西？！太抽象了吧！
如果我们见着实物，理解起来就没有这么难。
一切都在想象中，在数学共识里。
如果你没有脑力加入这个共识，你就不知道这是什么玩意儿。
所以说，到这一步，大部分人都卡住了。
高中数学最难的部分就是微积分。
因为有切线、无穷小、区间、单调性这些抽象概念。
而不等式、立体几何、三角函数、圆锥曲线这些，你现实中没见过，最起码能找到参照物——也就是说你能从具体的东西中抽象。
比如正弦，你可以画个三角形，画个坐标系，这样你就知道什么是正弦了。
也就是说，没有实物，再不济，咱还可以动手画个图帮助理解、做题，可微积分呢？
什么叫接近于无限小，
什么叫单调区间，
为什么还要有双重导数和积分？
它们只存在于运算里。
如果这部分要卡人，是相当恐怖。
所以大部分人到这一步就阵亡了。
如果你觉得这就已经很难了，那么你还没有见识过第三阶的抽象——
抽象概念之间的运算。
三、第三阶抽象
你可能理解无穷大，无穷小。
但是无穷大无穷小之间怎么运算呢？
什么？！它们之间还能运算？
是的。
一个无穷大除以一个无穷大。
一个无穷大加上一个无穷小。
一个无穷大除以一个无穷小。
一个无穷小除以一个无穷小。
一个无穷大乘以一个无穷小。
一个无穷大加上一个无穷小。
两个无穷大相加，结果如何。
……
不要自以为是，你以为的不是你以为的。
一个无穷大除以另外一个无穷大得到的并不是1，你要看它们是不是同阶；
有时候你觉得是同阶了，要看是不是初等函数，洛必达法则不能随便用；
一个无穷大加上一个无穷小，并不一定还等于无穷大，还要分开讨论；
一个无穷小除以一个无穷小，有可能得到无穷大，好反直觉的存在……
是不是晕了。
这还是高等数学的初级阶段。
上面是题目，下面是答案。
（高等数学入门书籍）
本来理解概念就很难了，你还要抽象出它们之间的运算规则。
概念是单独的，清清爽爽的。
运算是网，上面挂满了各种概念，它们之间的互动，实在是复杂。
他爱她，她不爱他，她爱上了他弟弟，他弟弟死活不接受这份爱，于是她就找了另一个他，另一个他却爱上了原来的他，原来的他还在苦苦等待她，在她快要回头的时候，另一个她却出现了，三个他同时把目光投向了她。
一个函数推出另一个函数，另一个函数却总找第一个函数的小弟，小弟不太搭理它，跟它的搭配很少。这个函数就挂着第三个函数，第三个函数却总找第一个函数一起出题，可第一个函数遇到自己推出的另一个函数才是大招，就在被第一个函数推出的另一个函数要回归的时候，第四个函数出现了，于是第一，小弟，第三，这三个函数就一起跟第四绑定来个大题……
一个函数推出它的导函数，导函数总和斜率、切线同时出现，组成容易得分的甜蜜题目。单独的时候切线斜率不会主动跟导函数搭，它希望跟圆锥曲线一起搞事情，这样显得比较友好一些。可圆锥曲线要加难度，它倾向于跟第一个函数结合，第一个函数说跟你的难度不如跟我的导函数一起搞区间运算。导函数感动了，终于要回来找它的时候，复合函数来了，大家都被它收编了，于是我们看到：下面的题目。
细品，是不是这么回事。
抽象下的关系推理，才是最难的抽象。
理解抽象概念就是建立一个人物，比如甄嬛——像皇上前妻的美貌女孩，我们还是能想象的。
抽象下的关系推理就是写出《甄嬛传》——女孩在后宫跟其他角色斗智斗勇，需要变态级的想象力和对人情世故的洞察。
难度根本不在一个级别上。
别说高等数学之间的抽象运算了，单是高中数学概念之间的运算已经令任汗毛直立了。
你要问这东西怎么学呢？我也不是很清楚。
有的人就是无师自通。
有的人需要反复去感知，一段时日后掌握——比如我，当初没学明白，但后来我认真琢磨，这么多年也有所获。
有的人无论如何努力，脑子里都开辟不出来一条神经回路。
中间这种人，可不可以成为我们努力的目标？
可以。
只是时间比较久——我现在的学习没有人给我一个deadline。
在k12教育体制下，追求效率，给你3年时间，把这些玩明白。
时间有限，任务很紧，不是你不行，是系统不允许。
我只能劝这个阶段的孩子，尽力而为，找个好老师。
如果你熬过高考到了人生不那么紧迫的阶段，想要继续学数学，关注我，长路漫漫，我们一起。
问题是，好多人需要的不止三年。
好多老师比学生强，他们是把这点内容反复搞几十年的结果。
好了，不说绝望的了，我们说简单的，第一阶的抽象，这是大部分人都能做到的。
四、第一阶抽象
第一阶抽象，就是从实物抽象出来的数学。
比如从水果或者石头，或者牛的数目上，抽象出数字。
从大自然的形状中，抽象出对称、螺旋、圆和方等。
这些都是在实物的基础上类比，相对来说容易一些：
我们从实物中感知，抽象出一个数学模型；
然后把这个模型普遍化，运用到相似的实物中。
小学生的加减法——摘了3个苹果再摘4个苹果，一共摘了几个苹果。
可以用实物演示，然后再符号化，写出3+4=7.
如果我们更进一步，加法之间好像可以有很多变化。
2位数、3位数、大数、乘法、交换、结合……好嘛，这又开始抽象之间的运算了。
这些运算还比较好说，因为概念不难，如何运算还可以用实物演示。
慢慢地，到高中，就不是那个味儿了。
等于说：从第一阶的抽象开始，人类不断运算思考，把自己带到了更深的概念面前，然后再接着运算思考。
虽然运算思考穿插其中，但你需要明白，它就是最难的部分！
知道1，2,3相对容易，明白1,2,3之间如何运算很难。
到这里总结一下：
第一阶抽象还是有实物参考的，没有实物最起码可以把图画出来；
第二阶抽象没有实物，单是想象这样的存在就已经很困难了；
第三阶抽象是种硬实力。
有人的实力帮他走到初中，有人的实力帮他走到高中，有人帮他走到【菲尔兹奖】。
这就是我的思考。