数论是数学中独具魅力的分支，它以整数为研究对象，探求它们的性质、解决相关问题，并在现代科技中发挥着重要作用。这个领域涵盖了素数、因数分解、同余等概念，并在密码学与计算机科学等领域中有着广泛的应用。
在数论概念中，幂次方数在数论中占据着基础而重要的位置。一个数的二次幂被称为平方数，例如
；三次幂则被称为立方数，如
。这些数的性质不仅在数论中有着丰富的内涵，在几何、代数及现实世界的许多问题解决中也扮演着关键角色。
古希腊人的数学观
古希腊数学家对数的看法今天有所不同，他们更偏好用几何的方式来考虑数，喜欢将所有的数，视为几何量。
希腊数学的这种几何代数思想，尤其是在欧几里得的《几何原本》中，对后来的数学发展产生了深远的影响。在《几何原本》中，欧几里得不仅系统地阐述了几何学的基本原理和定理，还提出了“数”的几何化表达，数以线段的长度出现，乘积和比例问题通过构造具有某种长度的线段来解决。比如，一个数的乘积
可以被视为一个边长分别为
和
的矩形的面积。这样的表达方式直观地链接了数学和几何，并在当今的数学教育中仍有用武之地。
将这一概念进一步发展，我们还可以将乘积
视为在一个矩形点阵中，一边有
个点，另一边有
个点的点数总和。这种将数的乘积几何化的方法，为数的视觉表现提供了一种生动的方式，它不仅帮助学生更好地理解数学概念，也在现代的课堂教学中被广泛采用，展示了古典数学思想对现代教育的持续影响。
然而，并非所有的整数都能被表示为了类似矩形的点阵，一类特殊的数只能用单独的“一行”表示出来：一边长度为 1，另一边长度为该数本身。
例如，数字
只能表示为一行，即一边有 1 个点，另一边有 5 个点，请看下图中红点圆点的图形。
在古希腊数学中，这样的数被定义为素数，因为它们不能被表示为除了这种一行模式之外的任何其他矩形排列。而他们将 1 其视为构建所有其他数的基本单元。因此，1 在那时就不被视为素数，这一观点一直延续至今。
数的几何形态：有形数的探索
希腊数学家如毕达哥拉斯及其学派的思想，他们对数的这样几何性质兴趣浓厚，他们认为一切事物都可以用数来解释，而数的性质可以通过几何形状来可视化和理解。
他们发现了有形数(Figurate number)——排成有一定规律形状的各种数，除了正方形和矩形，还有三角形数、正方形数（平方数）、五角数等，这些都是可以用点来形成特定的几何图形的数。
三角形数(Triangular number)是一类特殊的形数。这些数的名称来自它们可以排列成等边三角形的点阵。例如，第 1 个三角形数是 1，第 2 个是 3（可以排列成一个等边三角形），第 3 个是 6，如此类推。
第
个三角形数的一般公式是
。从连续自然数的简单算术序列中，就可以推导出这个优雅的公式。
有趣的是，每两个连续的三角形数相加，总能得到一个正方形数。例如，第二个三角形数 3 加上第三个三角形数 6 等于 9，而 9 恰好是 3 的平方。
五角数(Pentagonal number)是可以排列成五边形的点阵的数。五角数序列的前几个数是 1, 5, 12, 22, 35 等。第
个五角数的公式是
。
六边形数(Hexagonal Numbers)是由正六边形的点阵构成的数，每增加一层，就会在现有的基础上增加更多的点，形成一个新的六边形数。第
个六边形数的公式是
。
而
边形数，则是更一般的概念，它涵盖了所有可以通过正多边形的点阵来表示的数。
这些图形不仅在视觉上吸引人，而且它们的性质揭示了数的深层次结构，这对于当时数学家来说是相当震撼，他们研究为后人提供了丰富的研究材料，也影响了数学的进一步发展。
参考资料：
Oystein Ore, 《Invitation to Number Theory(SECOND EDITION)》
https://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number
来源：遇见数学
编辑：停云
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