藏在音乐图案中的宇宙奥秘

蔡驰南 蔡爸谈数学 2024年07月26日 12:39
这是一个在国外播放次数破百万的视频，金属板上的沙子，会随着音乐形成不同的图案，十分神奇，而更神奇的是它居然蕴含着世间万物的奥秘。

这个实验最早（1680年）由牛顿的死敌胡克发现，一百年之后（1787年），德国物理学家兼音乐家克拉德尼重复了这个实验。
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“声学之父”克拉德尼

他拿一根琴弦，在洒满沙子的金属板边上拉动，当琴弦发出固定的音高，与金属板产生共振，板上的沙子就会形成奇妙的图案。一种音高对应一种图形，这种“看得见的音乐”又被称为克拉德尼图形(Chladni Patterns)。

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这个实验轰动一时，学过工程学的拿破仑看后十分感兴趣，让法国科学院发起了一项竞赛，来征求对这个现象的数学解释。
当时法国最伟大的数学家拉格朗日认为，这是一项不可能完成的任务（超纲问题），因为用来解释的数学工具还没有被发明。但有一个人勇敢地站出来接受挑战，她就是数学界的花木兰——索菲·热尔曼。

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她历经五年（1811~1816年），三易其稿，终于弄明白了其中的原因。
原来这个问题的确与音乐密切相关，而用来解释的数学工具就是微积分。早在一百年前（1708年）泰勒就发现，琴弦发声是因为振动。而琴弦两端固定，所以振动必然形成整数个波。

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这样的振动会出现一些点始终固定不动，整个波形不会前进，因此又被称为“驻波”。
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一维的驻波

而克拉德尼图形，则是由二维平面上的驻波形成的。因为金属平面振动，沙子会从振动最强烈的地方弹开，落在完全不振动的地方，从而形成图案。
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二维的驻波

热尔曼几乎从零开始建立理论，给出了这种现象的数学解释：以四阶偏微分方程的形式，给出弹性表面的一般振动原理的表达式。她也因此获得了法国科学院大奖。
宇宙似乎对偏微分方程情有独钟。
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克拉德尼图形是二维平面上驻波的可视化。

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后来人们将振动与弦引向三维空间，发明了微波炉与CT扫描，而它们的原理是相通的。

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这一切仅仅始于对音乐与琴弦的研究，而关于振动与弦的奥秘还远远没有穷尽，因为人们发现它可能联系着世间万物。
正如尼古拉·特斯拉（Nikola Tesla）曾说过：“如果你想知道宇宙的秘密，就用能量、频率与振动来思考。” 
精彩讲解，可详见视频号：
补充资料：
恩斯特·克拉德尼（Ernst Chladni，1756年11月30日—1827年4月3日）：德国物理学家、音乐家。主要贡献包括振动板研究、不同气体中音速的计算等，因此被称为“声学之父”。
索菲·热尔曼关于克拉德尼图形的研究：
1821年，她在《自然研究备注》中以四阶偏微分方程的形式，给出弹性表面的一般振动原理的表达式。