线性代数（向量空间）

线性代数（向量空间）

向量空间的公理详细列出如下：

1. 加法封闭性：向量空间中的任意两个向量相加的结果仍然属于该向量空间。

符号表示：对于任意u, v ∈ V，u + v ∈ V。

2. 加法结合律：向量空间中的任意三个向量u、v和w的和满足结合律。

数学表达式：(u + v) + w = u + (v + w)。

3. 加法交换律：向量空间中的任意两个向量u和v相加的结果与v和u相加的结果相等。

数学表达式：u + v = v + u。

4. 存在零向量：向量空间中存在一个特殊的向量0，它与任意向量u相加的结果等于u本身。

数学表达式：对于任意向量u，u + 0 = u。

5. 存在逆元（负向量）：向量空间中的任意向量u都存在一个对应的逆元-u（负向量），使得u与-u相加的结果为零向量。

数学表达式：对于任意向量u，存在-u，使得u + (-u) = 0。

6. 标量乘法的结合性：在向量空间中，任意标量k和l与向量u的乘积满足结合律。

数学表达式：(kl)u = k(lu)。

7. 向量与标量的乘法分配律：在向量空间中，任意标量k与向量u、v的乘积再进行加法运算，等于先对向量进行加法运算再进行标量乘法运算的结果。

数学表达式：k(u + v) = ku + kv。

8. 标量与向量的乘法分配律：在向量空间中，任意两个标量k和l与向量u的乘积再进行加法运算，等于先对标量进行加法运算再进行向量乘法运算的结果。

数学表达式：(k + l)u = ku + lu。

AI数学基础动画讲解 - 线性代数（向量）

基向量和标量：基向量是构成向量空间的一组线性无关的向量，而标量是单一数值，用于表示大小、长度、角度等度量，不与方向关联。

基向量和标量

• 基向量：在向量空间中，基（basis）是一组线性无关的向量，它们可以生成（或称为“张成”）整个向量空间。这些构成基的向量就被称为基向量（basis vectors）。例如，一个人的年龄、身高或体重，有三个特征维度，可以将每个特征维度视为一个“基向量”。

• 标量：标量（scalar）是只有大小、没有方向的量。例如，一个人的年龄、身高或体重，都是可以用一个具体的数值来表示的，即标量。

• 线性组合：线性组合是线性代数中的一个基本概念，它指的是将一组向量分别乘以相应的标量系数，并将结果相加（即缩放向量并相加），从而得到一个新的向量。

线性组合

线性独立和线性相关：线性独立和线性相关是线性代数中的两个核心概念，它们描述了向量之间的特定关系。

线性独立

• 线性独立：如果一组向量中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，则这组向量被称为线性独立的。基向量都是线性独立，N个基向量张成N维向量空间。

• 线性相关：在线性代数中，如果一组向量中的任何一个向量都可以表示为其他向量的线性组合（即乘以标量并相加），则这组向量被称为线性相关的。

线性代数动画素材来源于3Blue1Brown，想了解更多查看参考资料网址。

3Blue1Brown 是一个由 Grant Sanderson 创建的YouTube 频道。这个频道从独特的视觉角度解说高等数学，内容包括线性代数、微积分、人工神经网络、黎曼猜想、傅里叶变换以及四元数等。

Grant Sanderson 毕业于斯坦福大学，并获得了数学学士学位。