线性代数（线性变换）

线性变换：线性代数中的线性变换是一个核心概念，它描述了一种从向量空间到另一个向量空间的特殊映射，同时保持向量加法和数量乘法的运算性质。
线性变换（Linear Transformation）是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射，且该映射保持加法运算和数量乘法运算。
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线性代数（线性变换）

AI数学基础动画讲解 - 线性代数（向量）

AI数学基础动画讲解 - 线性代数（向量空间）

线性（Linear）：Lines remain Lines, Origin remains fixed

  1. Lines remain Lines：直线仍然是直线，它们的性质没有改变。

    2. 一个直线在二维或三维空间中，进行某种变换（如旋转、平移、缩放等）时，该直线仍然保持为直线，而不是变成了曲线或其他形状。

  2. Origin remains fixed：“Origin”通常指的是坐标系统的原点，即(0, 0)或(0, 0, 0)点。原点是固定的，即它不会移动。

    3. 在某些变换中（如旋转和平移），原点可能会移动，但在其他变换中（如缩放或绕原点旋转），原点保持不变。

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线性（Linear）

变换（Transformation）：本质上是一个函数，该函数接受一个向量作为输入，并输出一个向量。
在二维或三维空间中，线性变换可以直观地理解为对向量进行旋转、缩放、反射或剪切等操作，但这些操作必须保持原点不变，并且保持网格线的平行性和等距性。

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变换（Transformation）

两个性质：加法的齐次性（Additivity）、标量乘法的齐次性（Scalar）

一个变换是线性的，需要具体满足以下两个性质：

  1. 加法的齐次性（Additivity）：
    对于任意的向量 u 和 v 以及任意的标量 k，线性变换 T 满足：
    T(u + v) = T(u) + T(v)
    这个性质表明，线性变换对向量的加法运算是封闭的，即两个向量之和的变换等于各自变换后的和。

  2. 标量乘法的齐次性（Scaling）：
    对于任意的向量 u 和任意的标量 k，线性变换 T 满足：
    T(k * u) = k * T(u)
    这个性质表明，线性变换与标量乘法是可交换的，即标量乘以向量的变换等于向量变换后再乘以该标量。

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两个性质

线性变换示例：原始向量【-1, 2】经过线性变换矩阵 [[1, 3], [-2, 0]] 后，变为了新的向量 【5, 2】。实现了向量的旋转和缩放。

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线性变换示例

  1. 旋转：在二维空间中，逆时针旋转θ角是一个线性变换。它可以通过一个2x2的旋转矩阵来表示。

  2. 缩放：缩放变换也是一个线性变换，它可以通过对角矩阵来表示，对角线上的元素是缩放因子。

import numpy as np    # 定义一个2x2的矩阵，表示线性变换  T = np.array([[1, 3], [-2, 0]])    # 定义一个二维向量  v = np.array([1, 2])    # 应用线性变换到向量v  w = np.dot(T, v)    # 输出原始向量和变换后的向量  print(f"原始向量 v: {v}")  print(f"经过线性变换后的向量 w: {w}")
线性变换示例代码
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线性变换示例结果

**注释** 

线性代数动画素材来源于3Blue1Brown，想了解更多查看参考资料网址。

3Blue1Brown 是一个由 Grant Sanderson 创建的YouTube 频道。这个频道从独特的视觉角度解说高等数学，内容包括线性代数、微积分、人工神经网络、黎曼猜想、傅里叶变换以及四元数等。

Grant Sanderson 毕业于斯坦福大学，并获得了数学学士学位。